Законы арксинуса и случайное блуждание

Давайте поговорим о проигрышах, но сначала скажем несколько слов о первом и втором законах арксинуса. Эти принципы относятся к случайному блужданию. Поток торговых P&L в некоторых случаях может быть неслучайным, хотя обычно большинство потоков торговых прибылей и убытков почти случайны, что можно подтвердить серийным тестом и коэффициентом линейной корреляции.

Законы арксинуса предполагают, что вы заранее знаете сумму, которую можно выиграть или проиграть, и допускают, что сумма, которую можно выиграть, равна сумме, которую можно проиграть, и эта сумма постоянна. В нашей дискуссии мы допустим, что сумма, которую вы можете выиграть или проиграть, — это 1 долл. за каждую игру.

Законы арксинуса также допускают, что у вас есть 50%-ный шанс выигрыша и 50%-ный шанс проигрыша. Таким образом, законы арксинуса предполагают игру, где математическое ожидание составляет 0.

Эти предположения относятся к играм, которые значительно проще, чем торговля. Однако первый и второй законы арксинуса в точности относятся к только что описанной игре. Конечно, напрямую они не применимы к реальной торговле, но для наглядности мы не будем различать игру и торговлю.

Представим себе действительно случайную последовательность, такую как бросок монеты, где мы получаем 1 единицу, когда выигрываем, и теряем 1 единицу, когда проигрываем. Если бы мы строили кривую баланса за Х число бросков, то наносили бы точки с координатами (Х, Y), где Х представляет собой номер броска, а Y — наш общий выигрыш или проигрыш после этого броска.

Введем понятие положительной области, когда кривая баланса находится выше или на оси Х, если предыдущая точка была выше Х. Таким же образом мы определим отрицательную область, когда кривая баланса находится ниже или на оси Х, если предыдущая точка была ниже Х.

Логично предположить, что общее количество точек в положительной области будет примерно равно общему количеству точек в отрицательной области. На самом деле это не так. Если бросить монету  N раз, то вероятность (Prob) осуществления К событий в положительной области составит:

Prob ~ 1 / (p * K ^ 0,5 * (N – K)  ^ 0,5),  (2.13) где p = 3,141592654.

Символ ~ означает, что обе части стремятся к равенству в пределе. В этом случае, так как или К, или (N – K) стремится к бесконечности, обе части уравнения будут стремиться к равенству.

Таким образом, если бросить монету 10 раз (N = 10), мы получим следующие вероятности нахождения в положительной области:

Можно ожидать попадания в положительную область пяти из 10 бросков, но это наименее вероятный результат!

Наиболее вероятным результатом будет нахождение в положительной области при всех бросках или ни при одном!